Per valutare l’associazione tra due variabili categoriche, a livello descrittivo si costruisce una tabella a doppia entrata mentre a livello inferenziale si può utilizzare il test del chi quadrato per tabelle di contingenza.
Ma se le variabili categoriche fossero più di due? In questo caso, si utilizza l’analisi log-lineare.
In questo articolo scoprirai quando e come è possibile applicare l’analisi log-lineare alle variabili qualitative e come interpretarne i risultati.
Indice
Analisi log-lineare: quando si usa?
L’analisi log-lineare può essere considerata un’estensione del test del chi quadrato per tabelle di contingenza.
Si applica infatti quando si vuole valutare l’associazione tra più di due variabili qualitative nominali, tra le quali non sussiste un rapporto di dipendenza (altrimenti sarebbe preferibile utilizzare il modello di regressione logistica).
Ad esempio, se vuoi valutare se c’è un’associazione tra il superare o meno l’esame di statistica ed il superare o meno l’esame di inglese, potresti costruire una tabella di contingenza e calcolare il relativo test del chi quadrato.
Ma se a livello teorico l’associazione fosse influenzata anche dall’essere o meno frequentante?
In questo caso, potresti costruire più tabelle di contingenza, una per chi ha seguito i corsi in presenza ed una per chi li ha frequentati solo online, e valutare se vi siano differenze nelle frequenze e quindi nei relativi test del chi quadrato.
Tuttavia, questa analisi porterebbe ad un aumento non misurabile della probabilità di errore di I tipo (alpha), oltre a non permettere un’interpretazione globale dei risultati. Per rispondere a domande che coinvolgono tre o più variabili qualitative nominali, si ricorre allora all’analisi log-lineare, che analizza tutti gli effetti tra le variabili, inclusi quelli trivariati e successivi.
Nell’esempio considerato, il risultato del modello log-lineare sarà infatti una tabella con 7 componenti:
a) Effetto principale della variabile 1
b) Effetto principale del variabile 2
c) Effetto principale della variabile 3
d) Effetto interazione variabile1*variabile2
e) Effetto interazione variabile1*variabile3
f) Effetto interazione variabile2*variabile3
g) Effetto interazione variabile1*variabile2*variabile3
In questo esempio, il modello saturo è quindi composto da 7 componenti: 3 effetti principali (a,b,c), tre interazioni bivariate (d,e,f), un’intrazione trivariata (g). Il modello più semplice invece è quello in cui tutte le frequenze attese sono tra loro identiche e quindi non sussiste alcuna relazione tra le variabili.
In modo simile a quanto avviene con il modello di regressione lineare e logistico, l’obiettivo di questa analisi è trovare il modello più parsimonioso (più semplice da un punto di vista del numero di variabili considerate) che si adatti sufficientemente bene alla variabilità delle frequenze osservate.
Meno parametri servono per rappresentare adeguatamente i dati, più il risultato sarà sintetico e quindi più chiaro anche da descrivere.
Un passo indietro: i modelli log-lineari
L’analisi log-lineare di cui ti sto parlando in questo articolo fa parte di una famiglia di modelli statistici, detti modelli log-lineari, che discende, seppur con alcune variazioni significative, dal modello lineare generalizzato, che è lo stesso modello a cui afferiscono le regressioni e l’ANOVA.
In particolare, i modelli log-lineari fanno riferimento ai modelli lineari generalizzati basati sulla distribuzione di Poisson.
Se hai già familiarità con l’ANOVA, concettualmente non ti dovrebbe risultare difficile capire anche l’analisi log-lineare. Proviamo a metterli a confronto con un esempio per capire meglio.
Puoi utilizzare un modello di ANOVA a due vie per stimare il valore atteso di una variabile quantitativa (prendiamo come esempio l’altezza di una pianta) in base alle modalità di due variabili categoriche (ad esempio, tanta/poca luce e tanta/poca acqua).
Puoi invece utilizzare un modello log-lineare per valutare se la frequenza osservata in ogni cella (riprendendo l’esempio dell’ANOVA, in questo caso potrebbe essere il numero di piante in ogni cella) cambia a seconda delle modalità di due variabili categoriche (es. le stesse due già utilizzate nell’ANOVA).
Rispetto all’ANOVA ed alla regressione, qui però ci stiamo concentrando su un modello di analisi log-lineare in cui tutte le variabili hanno lo stesso ruolo.
Da questo punto di vista, l’analisi log-lineare si comporta quindi allo stesso modo del test del chi quadrato per tabelle di contingenza, in cui il risultato non cambia invertendo l’ordine delle variabili. In questa tipologia di analisi, la variabile dipendente è infatti costituita dal logaritmo delle frequenze osservate.
Modello di regressione logistica e analisi log-lineare, che differenza c’è?
La differenza tra queste due metodologie è simile a quella che c’è tra modello di regressione lineare e ANOVA.
Nel primo caso (modello di regressione lineare o logistica) si è più interessati a stimare dei coefficienti, mentre nel secondo (ANOVA e analisi log-lineare) l’obiettivo è più legato alla valutazione delle relazioni tra le variabili. In pratica, la regressione logistica restituisce la misura dell’effetto di ogni fattore sulla variabile dipendente, a parità delle altre variabili inserite nel modello.
Nella analisi log lineare il risultato fornisce invece un’informazione sulla presenza o l’assenza di una relazione fra le variabili, e quindi permette di capire quali variabili sono statisticamente legate tra loro.
La scelta di quale metodo utilizzare dipende pertanto più dall’obiettivo dello studio che non da considerazioni matematiche. In modo analogo a quanto avviene con i modelli di regressione logistica, calcolare l’esponenziale dei coefficienti permette di ottenere la stima del corrispettivo odds ratio.
Inoltre, entrambe le tipologie di analisi si basano infatti sulla trasformazione logaritmica della variabile e rientrano nella categoria dei modelli a struttura predeterminata, ovvero dei modelli sensibili alla differenza statistica.
In entrambi i casi la definizione del modello si basa pertanto sulla stima dei parametri e dalla loro significatività statistica.
Come si fa un’analisi log-lineare?
L’obiettivo “matematico” dell’analisi log-lineare è valutare quanto le frequenze osservate nelle celle congiunte dipendano dalle modalità delle variabili qualitative oggetto di studio. In altre parole, l’obiettivo di questa analisi è quello di cercare la presenza di pattern di associazione ed interazione tra queste variabili.
Dal punto di vista matematico, l’analisi log-lineare ha l’obiettivo di ridurre la variabilità dei dati ad un’equazione lineare che abbia con variabile dipendente il logaritmo delle frequenze osservate (da cui il nome di analisi log-lineare) e come variabili indipendenti le modalità delle variabili categoriche, ognuna (tranne quella di riferimento) moltiplicata per un proprio peso, stimato dal modello log-lineare.
Per ottenere questo risultato, ci si basa sul confronto dei conteggi di frequenza delle osservazioni che rientrano in ciascuna cella congiunta, calcolando una statistica basata sul rapporto di verosimiglianza, che si dimostra essere approssimata bene dalla distribuzione Chi quadrato quando il campione è abbastanza numeroso.
Quando si può usare l’analisi log-lineare?
Per poter utilizzare questa metodologia di analisi, i dati devono rispettare due assunzioni, che non sono altro che la generalizzazione di quelle di cui tenere conto nel caso del test del chi quadrato tra due variabili qualitative:
- Le osservazioni devono essere tra di loro indipendenti. Questo significa che non puoi usare l’analisi log-lineare (ma neanche il test de chi quadro) per misure ripetute. Se questo fosse il tuo caso, se le variabili sono solo due puoi usare il test di McNemar, se invece sono più di due devi usare il corrispettivo dei modelli multilivello per variabili categoriche.
- Le frequenze osservate devono essere distribuite normalmente tra le frequenze attese in campioni ripetuti. Poiché nella pratica però si fa un unico campionamento, per verificare questa ipotesi ci si basa sull’osservazione delle frequenze attese nel campione estratto: se almeno nell’80% delle celle congiunte sono maggiori o uguali a 5 e se sono tutte maggiori di 1, allora tale ipotesi si considera verificata. In caso contrario, si procede comunque con un’analisi log-lineare ma tenendo in considerazione nell’interpretazione dei risultati che vi sarà una riduzione della potenza dell’analisi.
In alternativa, si potrebbe valutare di combinare più livelli insieme oppure aumentare la numerosità campionaria.
Inoltre, le variabili devono sempre essere categoriche. Variabili continue possono essere pertanto inserite in tale analisi solo se prima sono riconvertite in categoriche. Ad esempio, l’età trasformata da anni compiuti a fasce. Se questo non è possibile, allora sarà necessario ricorrere ad un modello di regressione logistica.
Come si interpreta l’analisi log-lineare?
L’obiettivo dell’analisi log-lineare è trovare il modello più parsimonioso che descriva adeguatamente bene i dati.
Pertanto, in modo analogo a quanto avviene nei modelli di regressione “classici”, per interpretare i risultati di questa analisi come prima cosa è necessario confrontare il modello saturo con quello di ordine gerarchico inferiore. Le frequenze osservate sono ancora vicine a quelle attese?
- Se no, significa che sei in presenza di un modello saturo, in cui si osservano variazioni tra le frequenze osservate in tutte le combinazioni delle modalità delle variabili categoriche oggetto di studio.
- Se sì, il modello ridotto è preferibile in quanto permette una semplificazione che non porta ad una perdita significativa di informazione. In questo caso si procederà al confronto del modello con quello con ordine di interazione a sua volta inferiore di uno fino a quando non si ottiene un modello qualitativamente non più paragonabile a quello precedente.
Ma su cosa ci si basa per fare questi confronti? In modo analogo a quanto avviene nei modelli di regressione “classici”, si devono guardare le statistiche relative alla performance del modello.
In particolare, in questo caso ci si basa sulla statistica del rapporto di verosimiglianza.
Se il modello ridotto modifica in modo statisticamente significativo il valore del rapporto di verosimiglianza (espresso in forma di chi quadrato), allora significa che togliere quell’effetto interattivo riduce in modo statisticamente significativo la bontà del modello. In questo caso ci fermiamo e concludiamo che quell’effetto è statisticamente importante.
Una volta definito quale sia il modello migliore, per valutare quali sono gli effetti che hanno maggiore peso puoi basarti sui valori presenti nella tabella delle stime sulla colonna delle Z: ignora il segno e osserva la grandezza assoluta dei numeri presenti. Valore assoluto più grande indica maggiore peso, valore assoluto più piccolo indica minore peso.
Come si fa un’analisi log-lineare con SPSS?
Su SPSS è possibile effettuare un’analisi log-lineare su un massimo di 10 variabili categoriche alla volta e, per poter eseguire l’analisi, tutte le variabili categoriche in formato stringa devono essere prima ricodificate in numeriche.
Come prima cosa, per confrontare i modelli, dal menù principale di SPSS clicca su Analizza > Loglineare >
Selezione del modello. Inserisci come prima le variabili nel box Fattori e come distribuzione seleziona Poisson. Nel menù Opzioni, imposta quindi 0 come delta e 0,001 come criterio di convergenza, al fine di ottenere risultati paragonabili a quelli di altri software come R.
Attenzione, questa procedura (che corrisponde alla funzione HIGLOGLINEAR) non ti permette però di ottenere le stime su cui basarti per determinare quale sia l’effetto più grande.
Una volta selezionato il modello migliore, dal menù principale clicca su Analizza > Loglineare > Generale. Inserisci quindi le variabili nel box Fattori e come distribuzione seleziona Poisson. In opzioni, spunta la voce stime e poi imposta il delta pari a 0 se vuoi ottenere risultati uguali a quelli di altri software come R.
Questa procedura (che corrisponde alla funzione GENLOG), utilizzando un processo iterativo di stima basato sull’algoritmo di Newton-Raphson, ti consentirà infatti di ottenere le stime su cui basarti per confrontare le grandezze degli effetti trovati.
Come si calcola su Jamovi?
Dal menù principale: Analisi > Frequenze > Regressione log-lineare. In Costruttore del modello, inserisci quindi tanti blocchi quante sono gli ordini di interazione.
Ad esempio, se stai analizzando tre variabili, nel primo blocco metterai tutti gli effetti principali, nel secondo tutte le possibili interazioni a due e nel terzo l’interazione a tre. Quindi in Coefficienti del modello, seleziona Test del rapporto di verosimiglianza.
Come si calcola su R?
Su R puoi utilizzare la funzione glm(formula = frequency~ variabile1 + variabile2 + variabile3 + variabile1:variabile2+ variabile2:variabile3+ variabile1:variabile3 + variabile1:variabile2:variabile3, family = poisson(link = “log”), data = dataset)
Analisi log-lineare: e adesso?
L’analisi log-lineare è solo una delle tante analisi inferenziali che si possono effettuare sui dati. Per imparare a districarti al meglio tra i diversi test statistici, questo corso online è la soluzione perfetta per te!
