In statistica esistono vari test per valutare se una distribuzione è approssimabile ad una Normale. In questo articolo vedremo quello di Jarque Bera, che risulta uno dei più facili da calcolare (anche solo con Excel) quando non si hanno a disposizione software statistici.
Indice
A cosa servono i test di normalità?
Verificare la normalità dei dati significa valutare quanto la distribuzione di una variabile è approssimabile a quella di una distribuzione Normale.
Per effettuare questa valutazione, in statistica esistono diversi test, classificabili in base alle loro formule in:
- test basati su regressione e correlazione (come il test di Shapiro-Wilk)
- test basati sulla funzione di distribuzione empirica (Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors, Anderson-Darling, Cramer-Von Mises)
- test basati sui momenti (Jarque-Bera, D’Agostino-Pearson)
In particolare, in questo articolo ci contreremo su test di Jarque Bera, il più facile da utilizzare quando per i calcoli non si ha a disposizione un software statistico ma solo Excel.
Il test di Jarque-Bera
Il test di normalità di Jarque-Bera è un test statistico che permette di determinare se gli indici di asimmetria e curtosi di una distribuzione di dati sono approssimabili a quelli di una distribuzione Normale.
Per definizione, infatti, tutte le distribuzioni Normali sono caratterizzata da indici di asimmetria e curtosi pari a 0.
Formula di Jarque Bera
Per poter calcolare l’indice di Jarque-Bera (che ci servirà poi per effettuare il test di normalità) ti servono tre valori:
- n, cioè la numerosità del campione
- S, cioè l’indice di asimmetria
- C, cioè l’indice di curtosi
La formula dell’indice di Jarque Bera è infatti:
JB =(n/6) * (S2 + (C2/4))
In questa formula, si intende che la curtosi nulla equivale a curtosi=0, come avviene su Excel. Nel caso in cui la curtosi sia calcolata con un software che invece considera la curtosi nulla=3 allora sarà necessario sottrarre 3 al valore della curtosi prima di inserirlo nella formula.
Una volta ottenuto il valore di questo indice, per effettuare il test statistico useremo la distribuzione del Chi quadrato. L’indice di Jarque Brera si distribuisce asintoticamente come una variabile casuale Chi Quadrato con 2 gradi di libertà, cioè JB ~ X2(2).
L’ipotesi nulla è un’ipotesi congiunta che sia asimmetria che curtosi in eccesso siano nulle. Tale ipotesi viene rigettata per valori di JB troppo grandi.
Come calcolare il test di Jarque-Brera in Excel
Come prima cosa, dobbiamo procurarci i tre valori che ci servono per la formula.
Puoi facilmente calcolarli selezionando la colonna tramite lo Strumento di Analisi dati – Statistiche descrittive oppure puoi effettuare i singoli calcoli.
Ad esempio, ipotizziamo che il tuo campione è composto da 20 unità, i cui valori sono riportati nella colonna A di Excel a partire dalla riga 2 a scendere. L’intervallo di valori che ci interessa sarà allora dato da A2:A21
In questo caso, le funzioni da usare sono:
- =CONTA.NUMERI(A2:A21) per il calcolo della numerosità del campione (n)
- =ASIMMETRIA(A2:A21) per il calcolo dell’indice di asimmetria (S)
- =CURTOSI(A2:A21) per il calcolo dell’indice di curtosi (C)
Una volta ottenuti questi tre valori, possiamo spostarci su una nuova cella e scrivere la formula indice di Jarque Bera su Excel:
=(n/6)*(S^2+C^2/4))
Ad esempio, se n=20, asimmetria=4 e curtosi=3, avremo:
= (20/6)*(4^2+(3^2/4))
Cioè otterremo un valore di JB, cioè dell’indice di Jarque Bera di 60,83
A questo punto manca solo più un passaggio per ottenere il relativo p-value. Dobbiamo infatti inserire questo risultato appena ottenuto nella formula per il calcolo della probabilità a destra di una distribuzione chi quadrato con due gradi di libertà, usando questa formula:
=DISTRIB.CHI.QUAD.DS(60,83;2)
Il 2 dopo il punto è virgola è sempre fisso, perché indica i gradi di libertà della distribuzione chi quadrato da utilizzare per questo test. L’unica cosa che cambierà di volta in volta sarà il valore prima del punto e virgola, che dovrà corrispondere a quello dell’indice di Jarque-Brera.
Nel nostro esempio, il valore che otteniamo è 6,17922E-14, ovvero un numero molto prossimo a zero (0,0000000000000617922). Pertanto, essendo il p-value inferiore a 0,05, possiamo rifiutare l’ipotesi nulla di normalità distributiva. In pratica, c’è evidenza nei dati che la distribuzione del campione non sia distribuita normalmente.
Se invece avessimo ottenuto una probabilità maggiore di 0,05, allora non potevamo rifiutare l’ipotesi nulla. In questo caso, non avremmo invece abbastanza evidenza per dire che i dati non sono distribuiti normalmente.
Limiti del test di Jarque Bera
Pur essendo facile da calcolare, il test di Jarque Bera presenta alcune limitazioni. Asimmetria e curtosi sono infatti due misure non robuste rispetto ai valori anomali.
In particolare, le simulazioni sulla potenza di questo test hanno mostrato che il test di Jarque Bera è superiore ai suoi competitori quando la distribuzione è simmetrica e presenta code tra il medio ed il lungo, oppure quando si ha una distribuzione solo approssimativamente simmetrica e code lunghe.
Il test di Jarque Bera risulta invece avere una potenza bassa (e quindi portare più facilmente a falsi negativi) quando le distribuzioni hanno code corte, specialmente se la forma è bimodale (cioè con due picchi). In queste situazioni, è preferibile utilizzare altri test come il test di normalità di Shapiro Wilk.
Test di Jarque Bera: e adesso?
Un modo ancora più veloce e gratuito per calcolare i principali test di Normalità (Shapiro-Wilk, Kolmogorov Smirnov e Anderson Darling) è utilizzare Jamovi, un software gratuito ad interfaccia grafica che permette di ottenere in pochi secondi output come questo:
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