Come calcolare la media aritmetica ponderata

18 Gennaio 2020 | Analisi dati

Questo articolo ti spiega come calcolare la media pesata tramite esempi pratici. Scopri come calcolare il voto di partenza per la laurea e l’età media partendo da una tabella di frequenza. Per aiutarti nei calcoli, ho anche preparato per te un file gratuito con tutte le formule per il calcolo della media ponderata già preimpostate.

Media aritmetica ponderata su Excel

Introduzione

La media aritmetica pesata è un caso più generale della media aritmetica semplice.  Questa media “semplice” si può però utilizzare solo quando tutte le osservazioni hanno lo stesso peso. La media “ponderata” invece è una formula più generale che si usa quando le osservazioni hanno pesi diversi tra loro.

Quando si usa la media aritmetica semplice?

La media aritmetica semplice si utilizza, ad esempio, per calcolare il voto medio conseguito all’esame di Statistica da parte degli studenti che lo hanno superato nell’ultima sessione. In questo caso infatti, l’esame ha lo stesso peso per tutti gli studenti.

Ipotizziamo che 5 studenti abbiano sostenuto l’esame di Statistica nell’ultima sessione. Marta ha preso 23, Ettore 18, Davide 25, Ilaria 28 ed Antonio 22. La media aritmetica semplice è pari a (23+18+25+28+22)/5=23,2. Possiamo quindi concludere che il voto medio all’esame di Statistica nell’ultima sessione è stato pari a 23/30.

Quando si usa la media aritmetica ponderata?

Per calcolare la media dei voti universitari di uno studente devi invece ricorrere alla media pesata. Infatti, in questo caso, gli esami sostenuti hanno un peso diverso, ovvero un diverso numero di CFU (crediti formativi universitari).

Per capire meglio, ti racconto un caso concreto. Sabrina è una laureanda in Scienze Infermieristiche che ha chiesto la mia consulenza statistica per risolvere alcuni dubbi legati all’analisi dei dati della sua tesi di laurea, tra cui proprio su come calcolare la media aritmetica ponderata.

Che cos’è una media ponderata?

Tra le definizioni che puoi trovare online, qui sotto ti riporto quella dell’enciclopedia Treccani alla voce “ponderato”:

“In statistica, media p. (o ponderale o pesata), calcolata attribuendo dei coefficienti (pesi) ai singoli termini di un insieme di dati numerici a seconda della loro importanza o frequenza; in particolare, la media aritmetica p. è uguale alla somma dei termini, ciascuno moltiplicato per il relativo coefficiente (o peso), divisa per la somma di tutti i coefficienti.”

Se ti sembra complicato, è solo perché è una definizione teorica che utilizza termini tecnici. La parte più difficile di una media ponderata non è infatti tanto calcolarla, quanto individuare correttamente i numeri da inserire all’interno della formula. Prima di tutto è necessario avere ben chiaro quali sono le osservazioni, quali sono i pesi e quale è la numerosità totale.

Per aiutare Sabrina a capire in pratica quali dati inserire, le ho proposto di esercitarsi provando a rispondere a questa domanda:

Come si fa la media ponderata degli esami universitari?

Come ti ho già accennato prima, Sabrina è una laureanda e quindi ha potuto esercitarsi direttamente sui dati reali dei suoi esami ma qui, per ragioni di privacy, ti riporterò un esempio con dati inventati. Ipotizziamo quindi che Sabrina sia una laureanda magistrale e che in tutto abbia sostenuto 13 esami per un totale di 100 CFU.

Identifica pesi ed osservazioni

Come abbiamo visto, il primo passaggio che deve fare è chiedersi quali sono le osservazioni su cui vuole calcolare la media e quali sono i pesi. Ma prima, per individuare con precisione il tipo di analisi da svolgere, devi avere ben chiaro quale è l’obiettivo che vuoi raggiungere.

In questo esempio, l’obiettivo è trovare la media dei voti degli esami universitari, a ciascuno dei quali corrisponde un determinato numero di crediti formativi universitari (CFU). Le osservazioni saranno quindi i voti dei singoli esami ed i pesi saranno i CFU relativi ad ogni esame.

Crea una tabella

Una volta individuati quali sono le osservazioni e quali sono i pesi, ho suggerito a Sabrina di creare una tabella, come quella che vedi qui sotto. In questa tabella si scrive per ogni esame sostenuto il numero di crediti corrispondente e la votazione che ha conseguito

Esempio tabella con crediti e voti degli esami universitari

Ad esempio, se l’esame di Statistica vale 5 CFU e lei ha preso 24, il valore su cui calcolare la media è 24 (il voto conseguito all’esame di Statistica) mentre il peso è 5 (il numero di CFU relativo all’esame di Statistica).

Prendiamo adesso come esempio l’esame di Informatica: se vale 10 CFU e Sabrina ha preso 28, allora il valore su cui calcolare la media in questo caso è 28, mentre il peso dell’esame di Informatica è 10.

Dopo aver terminato di inserito tutti i pesi, ho poi consigliato a Sabrina di sommarli per controllare che il totale fosse quello atteso. Ad esempio, se il totale gli esami sostenuti da Sabrina è di 100 CFU, allora la somma dei pesi dovrà essere uguale a 100.

Per capire come fare il calcolo della media ponderata, proviamo a riprendere la definizione della Treccani adattandola all’esempio della media dei voti.

Applica la formula

In questo caso, i coefficienti (pesi) sono i crediti formativi universitari (CFU) ed i termini (osservazioni) sono i voti degli esami. Quindi possiamo riscrivere la definizione come “la media aritmetica ponderata è uguale alla somma dei voti, ciascuno moltiplicato per il relativo numero di CFU, e poi divisa per la somma di tutti i CFU”.

Per calcolare più velocemente e senza errori la media ponderata dei voti ho preparato per te un file che calcola la media ponderata su Excel in modo automatico. Ti basterà poi inserire i dati relativi ai voti dei tuoi esami ed ai relativi CFU per ottenere subito la media pesata sia in trentesimi che in centodecimi.

Come si calcola il voto di partenza per la laurea?

La media ponderata che si ottiene effettuando i calcoli indicati nella precedente definizione in questo esempio è pari a 2585/100=25,85 ed è espressa in trentesimi perché tutti i voti sommati sono espressi in trentesimi.

Se a Sabrina interessa conoscere anche il voto di partenza della laurea, dovrà ancora effettuare la conversione del risultato della media ponderata in centodecimi. Per fortuna, questa è un’operazione molto semplice: basta moltiplicare per 11 la media ponderata in trentesimi e quindi dividerla per 3.

In alternativa, puoi anche utilizzare il calcolatore automatico. In pratica, in questo esempio, la media ponderata in centodecimi risulta pari a: 25,85*11/3=94,78 che, arrotondando, corrisponde a 95. Quindi il voto di partenza per la laurea di Sabrina è 95.

Come si calcola la media ponderata partendo da una tabella di frequenza?

Una volta capito come si utilizza la media ponderata, la puoi applicare a qualsiasi contesto. Ad esempio, il dubbio di Sabrina riguardava il calcolo della media ponderata per la variabile età. Per descrivere l’età dei soggetti intervistati, Sabrina ha previsto una domanda del questionario che chiedeva di indicare a quale, tra 5 diverse fasce di età (21-30 anni; 31-40 anni; 41-50 anni; 51-60 anni; più di 60 anni), si apparteneva.

Sabrina ha quindi calcolato la frequenza di intervistati per ogni fascia di età, sia in termini assoluti che percentuali. In pratica, ha ottenuto una tabella come quella che vedi qui sotto, ma non sapeva come ottenere l’età media dei rispondenti.

Tabella con frequenze assolute e percentuali per le fasce di età

Se avesse formulato la domanda sul questionario in modo da chiedere gli anni compiuti le sarebbe stato sufficiente prendere una calcolatrice e calcolare la media aritmetica semplice. In questo caso, invece, avendo a disposizione solo le frequenze, ha dovuto utilizzare la media aritmetica ponderata.

Come si calcola il valore centrale di una classe?

L’unica differenza, rispetto all’esempio dei voti degli esami universitari, è rappresentata dal fatto che in questo caso i valori sono dei range di età.

Pertanto, il primo step consiste nel calcolare il valore centrale di ogni fascia di età. Questa operazione si effettua calcolando la media aritmetica semplice tra il valore minimo ed il valore massimo di ciascuna fascia di età, come puoi vedere nella colonna evidenziata nella tabella sottostante. Per l’ultima fascia di età, 60+, per calcolare il valore medio è stato necessario decidere un valore massimo. In questo caso, gli intervistati erano tutti lavoratori e pertanto abbiamo concordato che 70 anni potesse essere un limite superiore adeguato per questa fascia di età.

Come trovare il valore centrale di un'intervallo di valori

Media pesata: e adesso?

Una volta trovati i valori centrali, puoi calcolare velocemente l’età media. Prova a farlo anche tu, utilizzando le formule già preimpostate nel calcolatore automatico che puoi scaricare gratuitamente qui. Come risultato dovresti ottenere 44 anni.

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Paola Pozzolo

Paola Pozzolo

Sono Paola Pozzolo e mi occupo di consulenze e formazione statistica. Ti aiuto a trasformare i dati in informazioni utili ed affidabili per raggiungere i tuoi obiettivi di ricerca e prendere le decisioni che più valorizzeranno il tuo lavoro.