Media e mediana sono i due indici di posizione di statistica descrittiva più utilizzati per sintetizzare un insieme di numeri. Comprendere le differenze tra questi due misure ti sarà quindi molto utile per interpretare correttamente le informazioni contenute nei dati e capire quali tecniche statistiche utilizzare.
Indice
Che cos’è la media?
La media aritmetica si calcola sommando tutti i valori di un insieme di numeri e dividendo per il numero totale di elementi:
Media = (valore₁ + valore₂ + … + valoreₙ) / n
Seppur sia la più diffusa, la media aritmetica non è l’unica media matematica. In alcuni contesti, possono rivelarsi più appropriate altri tipi di media:
- Media geometrica: utile per confrontare i tassi di crescita (es. gli interessi composti)
- Media armonica: per il calcolo dei tempi di reazione o della velocità media
- Media quadratica: quando si vuole dare particolare risalto ai valori più grandi e/o più piccoli.
Che cos’è la mediana?
La mediana è il valore che si trova al centro di un insieme ordinato di numeri.
- Se i dati sono in numero dispari, la mediana è il valore in posizione centrale
- Se sono in numero pari, è la media aritmetica dei due valori centrali.
Ad esempio, tra i numeri 3, 4 e 7, la mediana è il valore centrale quindi 4.
Tra i numeri 3, 4, 8 e 100 invece la mediana è la media tra i due valori centrali quindi (4+8)/2 = 6.
Quando usare la media?
Scegliamo di utilizzare la media tutte le volte che ad una cena decidiamo di pagare il conto alla romana, ovvero di dividere il totale per il numero di commensali, facendo pagare la stessa quota a tutti.
In alcuni casi, ad esempio se abbiamo tutti cenato con pizze e bibite dal valore simile, può rivelarsi una comodità che ci permette di risparmiare tempo. In altri, ad esempio se un commensale ha ordinato invece della pizza un piatto di pesce molto costoso, scegliere di utilizzare la media si rivelerà una scelta tanto meno equa quanto più è grande la differenza tra le voci di spesa.
La media è preferibile quando:
- La distribuzione dei dati è Normale, il che automaticamente implica che i valori di mediana e media coincidono. In queste situazioni, la preferenza per la media permette di poter lavorare con i test parametrici, più potenti di quelli non parametrici
- La distribuzione dei dati non è Normale ma è comunque approssimativamente simmetrica (condizione necessaria ma non sufficiente per la normalità distributiva). A livello visivo, questo significa che se rappresenti i dati con un istogramma e poi lo tagli a metà in senso verticale, la parte a destra sarà molto simile a quella a sinistra. A livello numerico, questo significa che l’indice di asimmetria è prossimo a 0
- Non ci sono outliers rilevanti, ovvero valori estremi che alterano in modo consistente il valore della media. Considera che la definizione di outliers non è univoca, per cui è consigliabile fare più verifiche per individuarli. Ad esempio, graficamente, gli outliers li puoi individuare tramite la costruzione di un boxplot. Numericamente, puoi identificarli come i valori che stanno lontano dalla media oltre 3 volte il valore della deviazione standard
- La numerosità campionaria è elevata, e si può pertanto applicare il Teorema del Limite Centrale che afferma che con n>30 anche se la distribuzione dei dati non è normale, lo è però la distribuzione delle sue medie
Quando usare la mediana?
La mediana è preferibile quando:
- I dati non hanno una distribuzione Normale e in più sono fortemente asimmetrici. A livello visivo, significa che c’è molta differenza nella forma di quello che sta a destra rispetto che a sinistra della media. A livello numerico, significa che l’indice di asimmetria è molto distante dallo zero
- Ci sono outliers che potrebbero alterare la media
- Il campione è composto da poche osservazioni
- Stai lavorando su dati ordinali, come nel caso delle scale di valutazione di tipo Likert da “per niente d’accordo” a “perfettamente d’accordo”
- Stai svolgendo analisi con fini normativi o di equità: la mediana è più rappresentativa di ciò che “accade alla maggioranza”, quindi è preferibile quando l’obiettivo è definire soglie di povertà, politiche retributive, prezzi immobiliari, tempi di attesa, di sopravvivenza o di reazione, livelli di esposizione a sostanze tossiche, performance scolastiche, studi di sostenibilità economica ed energetica, ecc.
Quando non usare né media né mediana?
In alcuni casi, né media né mediana possono essere pienamente rappresentative. In presenza di distribuzioni multimodali (cioè che in un istogramma presentano più picchi) meglio considerare anche la moda (valore più frequente) o segmentare i dati in sottogruppi più omogenei.
Media e mediana spiegati con la fisica
Media e mediana non sono solo due misure ricorrenti nel concreto della nostra quotidianità ma anche da un punto di vista fisico.
La media può essere infatti definita anche come il punto di equilibrio numerico: ovvero quel punto in cui la somma delle distanze dei valori dalla media (pesate con segno) è zero. Questo significa che se ponessimo tutte le nostre osservazioni su un righello, ognuna in corrispondenza del suo valore numerico, la media corrisponde al punto in cui il righello si bilancerebbe se lo mettessimo su un perno. Da un punto di vista matematico, questo equilibrio è dovuto al fatto che questo punto corrisponde a quello in cui le distanze pesate con segno dei dati dalla media si annullano.
E’ anche importante riflettere sul fatto che il baricentro è in genere diverso dal centro geometrico (ovvero il punto che sta tra il primo e l’ultimo peso), ma rispetto a quest’ultimo tende a spostarsi dal lato dove ci sono più pesi. Questo perché la media “pende” verso i valori estremi: per questo è sensibile agli outliers.
La mediana invece può essere definita come il punto di equilibrio per quantità, cioè il punto che divide i dati in due metà uguali, non in peso ma in numero. Riprendendo l’esempio del righello, corrisponde quindi al punto in cui metà dei dati stanno a sinistra e metà a destra, indipendentemente dal loro valore.
Moda, media o mediana: quale scegliere?
Riassumendo:
- la media è utile quando si vogliono considerare tutti i dati e si ha una distribuzione simmetrica.
- la mediana è più indicata quando si cerca una rappresentazione più robusta e meno influenzabile da valori anomali.
- la moda quando l’obiettivo è mostrare l valore più ricorrente.
La scelta tra moda, media e mediana non è solo una questione statistica, ma una decisione che influenza la percezione della realtà. Scegliere, ad esempio, di presentare il reddito medio o mediano di un’azienda può cambiare profondamente il messaggio trasmesso. In tutti gli ambiti, dall’economia alla sanità ed alla comunicazione, la scelta dell’indicatore statistico giusto è quindi fondamentale per informare correttamente, evitare manipolazioni e costruire politiche efficaci.
Una buona pratica è pertanto quella di calcolare sia media e mediana entrambe e analizzare la forma della distribuzione prima di decidere quale usare nei risultati.
[In qualità di Affiliato Amazon, ricevo un guadagno dagli acquisti idonei]
