Rotazione fattoriale: ortogonale o obliqua?

Quando in un analisi fattoriale esplorativa si estraggono due o più fattori, per migliorarne l’interpretazione conviene procedere ad una loro rotazione fattoriale, ortogonale oppure obliqua. Le soluzioni non ruotate sono infatti caratterizzate da un primo fattore “acchiappatutto” che rende complessa l’interpretazione dei fattori successivi. In questo articolo vedremo quale rotazione fattoriale conviene scegliere a seconda delle ipotesi di ricerca, la quantità di dati a disposizione e dell’obiettivo dello studio.

Che cosa si intende per rotazione dei fattori?

In un’analisi fattoriale, quando decidiamo di estrarre un solo fattore allora la soluzione iniziale, quella non ruotata, si rivela essere anche quella ottimale in quanto il primo fattore è anche l’unico a disposizione. Quando invece fattori sono almeno due, è preferibile optare per una successiva rotazione di tali fattori, in quanto questa operazione permette di semplificare l’interpretazione dei fattori successivi al primo.

Nello specifico, per rotazione fattoriale si intende quindi l’insieme di operazioni che permettono la ricerca di una soluzione fattoriale alternativa a quella individuata dalla matrice fattoriale non ruotata, ma che soddisfa il criterio della struttura semplice. Scegliere una rotazione dei fattori consiste quindi nello scegliere una tra queste possibili trasformazioni della matrice dei pesi fattoriali.

A livello geometrico, questa operazione di rotazione corrisponde a spostare la posizione degli assi di riferimento sulle rappresentazioni grafiche delle variabili e dei fattori e calcolare le coordinate di questo nuovo piano (che corrisponderanno a nuove saturazioni negli stessi fattori).

A livello matematico, tra le infinite trasformazioni che portano alla medesima quota di variabilità delle variabili di partenza spiegata dai fattori, vengono preferite le soluzioni che portano alla struttura semplice proposta da Thurstone, secondo la quale ogni variabile dovrebbe avere saturazione elevata in un fattore ma il più bassa possibile in tutti gli altri, ovvero dovrebbe appartenere ad un unico fattore comune.

Al contrario, quando le variabili non sono assegnabili chiaramente ad un unico fattore, la soluzione si dice complessa in quanto l’interpretazione dei fattori risulta molto dubbia.

Rotazione ortogonale oppure obliqua?

Le rotazioni fattoriali si distinguono in due macro-categorie:

• Rotazioni ortogonali: i fattori estratti hanno tra di loro correlazione nulla. Graficamente, questo corrisponde ad un angolo retto tra i fattori e da qui la denominazione di “ortogonale”. In altre parole, con queste rotazioni otteniamo dei fattori ruotati nello spazio rispetto alla prima estrazione, ma sempre fra loro indipendenti. Questo tipo di rotazione si utilizza quando a livello teorico si presuppone che non esista nessun legame tra i fattori estratti.
• Rotazioni oblique: i fattori estratti possono essere tra loro correlati. In pratica, quando si effettuano queste rotazioni non solo di ruotano i fattori nello spazio, ma si elimina anche il vincolo di indipendenza fra i fattori. Questo tipo di rotazione può essere opportuno qualora sia teoricamente giustificato attendersi una correlazione fra i costrutti indagati dalle variabili osservate.

Metodi di rotazioni ortogonali

Varimax

Questo è il metodo di rotazione ortogonale più frequentemente utilizzato, poiché ha come obiettivo quello di individuare la soluzione fattoriale che, all’interno do ogni fattore, massimizza le correlazioni più alte con le variabili e riduce quelle più basse. In altre parole, riduce al minimo il numero di variabili con elevati pesi su ciascun fattore, favorendo una netta separazione tra i fattori. Rispetto ad altri metodi, ha però lo svantaggio di privilegiare il primo fattore.

Quartimax

Un metodo ortogonale poco usato che ha come obiettivo quello di individuare la soluzione fattoriale che riduce al minimo il numero di fattori necessari per spiegare ciascuna variabile. In pratica, rispetto a varimax, questo metodo sparpaglia di più la varianza entro le singole variabili, ma comunque tende anch’esso a privilegiare il primo fattore.

Equamax

Questo metodo di rotazione è una combinazione tra i due precedenti, ma è anch’esso poco usato. L’obiettivo è quello di individuare la soluzione fattoriale che combini equamente il ridurre il numero delle variabili che pesano fortemente su un fattore ed il numero di fattori necessari per spiegare una variabile.

Metodi di rotazioni oblique

Oblimin

Un metodo per la rotazione obliqua in cui il grado di associazione tra i fattori è determinato da un parametro generalmente posto uguale a 0. Questo metodo, così come il successivo, effettua dapprima una rotazione varimax e poi, tramite un algoritmo interattivo cerca di aumentare ulteriormente le saturazioni alte e ridurre quelle basse avvicinando gli assi.

Promax

Una rotazione obliqua che sostanzialmente restituisce una soluzione fattoriale uguale a quella che si otterrebbe con oblimin, ma in modo più veloce. E’ quindi preferibile a oblimin soprattutto quando il dataset è di grandi dimensioni.

Quale rotazione fattoriale preferire?

Da un punto di vista matematico, le rotazioni ortogonali presentano in genere una struttura maggiormente stabile rispetto alle caratteristiche proprie del campione oggetto di studi, maggiore semplicità nell’interpretazione dei fattori e la possibilità di visualizzare meglio graficamente la disposizione delle variabili nello spazio fattoriale.

Per tale motivo, quando la correlazione fra i fattori è bassa, molti autori prediligono la rotazione ortogonale.

Tuttavia, quando vi sono motivi teorici per considerare correlati i costrutti di cui si è alla ricerca, bisogna coerentemente preferire la rotazione obliqua. Quando in un’analisi fattoriale esplorativa sono estratti due o più fattori, la scelta del tipo di rotazione deve essere quindi guidata innanzitutto dalle ipotesi di ricerca.

Ad esempio, se l’obiettivo dello studio è l’analisi dei risultati di un questionario sulla qualità di vita, è plausibile ipotizzare una correlazione tra un fattore che misura la qualità di vita basata sulla sfera emotiva ed un fattore che misura la qualità di vita basata sulla sfera fisica.

Quando invece l’obiettivo è la standardizzazione di un test o di un questionario, allora probabilmente sarà preferibile ricorrere ad una rotazione ortogonale, che permette di isolare meglio le variabili molto sature in un solo fattore.

Matrice di struttura e matrice pattern: che differenza c’è?

A livello pratico, quando effettui una rotazione ortogonale, tra i risultati otterrai una sola matrice ruotata (la matrice di struttura) in cui il quadrato delle saturazioni corrisponde alla proporzione di varianza spiegata dal fattore per quella variabile.

Quando invece effettui una rotazione obliqua, otterrai anche una seconda matrice di saturazione:

• matrice di struttura, che rappresenta la correlazione tra le variabili ed i fattori. Quando la rotazione è obliqua, questa matrice è meno utile a interpretare i fattori, perché le sue saturazioni non tengono conto della correlazione fra i fattori. Questa è la matrice che ti serve per interpretare i risultati di una rotazione ortogonale.
• matrice pattern (denominata matrice dei modelli su SPSS), che contiene i coefficienti della combinazione lineare della variabile sul fattore, al netto degli altri fattori. Rispetto alla matrice precedente, i valori che trovi in questa tabella non sono correlazioni ma parametri di regressione. Questa è la matrice che ti serve per interpretare i risultati di una rotazione obliqua.

Rotazione dei fattori: e adesso?

Dopo la rotazione dei fattori, la matrice finale deve essere interpretata al fine di cogliere il significato di ogni fattore. Questa fase è molto delicata in quanto sia la scelta del metodo di estrazione e rotazione dei fattori, sia del numero di fattori da estrarre rendono molto arbitraria l’interpretazione di un’unica soluzione fattoriale.

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